无需场解算器的有损传输线阻抗

如果你关注我在信号完整性出版物和研讨会中的做法，那么你可能已经看到了几篇关于使用分析公式和计算器计算有损传输线阻抗的文章。使用计算器和一些数值技术比设置一个三维电磁场求解器要简单得多。你在网上找到的计算器会遗漏非常重要的信息，因此值得研究是否可以使用简单计算器与数值技术来获得完整的传输线阻抗，而无需场求解器。

在线上可用的计算器可以用来计算单端传输线的无损特性阻抗，有时也可以计算差分线。在某些情况下，它们也可以用来获取微带或带状线的差分阻抗。如果你知道这些阻抗值，你如何获得传输线的有损阻抗呢？

在本文中你将学到什么

下面我展示的是我最近在PCD&F文章中关于同一主题的简化版本。我也在IEEE EPEPS论文中讨论了这个话题。在这些文章中，我展示了公式的完整推导以及如何实现数值算法来设计目标阻抗。在本文中，我将做的是展示包含所有损耗和色散的传输线阻抗公式。

下面的方程式是基于将无损阻抗转换为有损阻抗。你可以从Altium Designer的层堆栈管理器中取得电感和电容值，并使用我提出的公式来获得单端传输线的完整有损阻抗。

将无损阻抗转换为有损阻抗

要计算有损传输线阻抗，我们首先从无损传输线阻抗开始。下面的方法使用了来自Altium Designer的层堆栈管理器中的电感和电容值，因此你可以使用这种方法与4种预设的传输线样式一起使用：

• 单端微带和带状线
• 单端共面微带和带状线
• 差分微带和带状线
• 差分共面微带和带状线

首先，选择你的材料和几何形状，并使用层堆栈管理器计算无损阻抗以获得线电容和电感；你将在下面的截图中寻找该值。在下面展示的公式中，我们将使用这个值并将其插入我们的公式中以获得有损阻抗。

现在使用层堆栈管理器中的这些值，结合您的材料属性使用下面显示的公式来确定有损耗的传输线阻抗。这些公式已在文章末尾的电子表格中实现。

单端传输线

要使用下面的公式，我们需要一些重要的材料和几何输入来获得有损耗的特性阻抗：

• 介电常数值或曲线
• 损耗正切值或曲线
• 预期的铜粗糙度值

我使用这些值和下面的公式来计算有损耗的阻抗、有损耗的传播常数和皮肤效应电阻。

我们需要做的第一件事是考虑介电常数中的粗糙度。为此，您可以使用铜箔指定的10点表面粗糙度测量（这可能在您的PCB层压板数据表中）并使用它来获取由于粗糙铜产生的介电常数（参见微带的Dk(eff)的额外方程式）：

在层堆栈管理器中使用此值来获取您的无损耗阻抗值。将层堆栈管理器中的阻抗和Eq. (1)的结果一起插入到Eq. (2)中（W = 轨迹宽度，T = 铜厚度）：

Eq. (2)是为条带线编写的，但使用微带时，您只需将Dk换成Dk(eff)和Dk(eff)-rough。

确保所有尺寸和材料常数使用一致的单位！我推荐使用公制（mks）单位，然后转换为每英寸单位。

Eq. (2)是单端传输线的有损耗阻抗。K项指的是铜粗糙度因子。这个粗糙度因子可以手动为特定的铜粗糙度模型计算。阅读这篇文章了解更多详情。

差分传输线

对于差分对，请从层堆栈管理器中取得电容和电感值，并在Eq. (3)中使用这些值：

这个公式前面的因子2是将奇模阻抗转换为差分阻抗。就像我们上面提到的，当使用差分微带线时，将Dk替换为Dk(eff)和Dk(eff)-rough。

对于差分带状线，光滑介电常数就是材料的Dk值。对于微带线，您需要将层堆叠管理器中的传播延迟转换为速度，然后取比值以获得差分微带线的Dk(eff)。

方程式(4)中的Dk(eff)值是通过将层堆叠管理器中的传播延迟与真空中的光速进行比较得到的，这需要一些简单的单位转换。Dk(eff)-rough值是一个近似值，但对于实际看到的铜箔的粗糙度值来说非常准确。

接下来，您需要传播延迟；单端轨迹和差分轨迹的方程式在方程式(5)中定义。

最后，使用传播常数和阻抗（具有特性阻抗或差分阻抗）来计算S参数。如果您愿意，可以按照本文中的方程式来确定ABCD参数的S参数。

记住，方程式(2)、(3)和(5)产生的量是复数。建议使用Microsoft Excel或像MATLAB这样的脚本语言来进行计算。

从有损阻抗到S参数

一旦您完成了上述过程，您就可以计算S参数和脉冲响应，这告诉您关于传输线及其保持信号完整性的能力的所有需要知道的信息。

计算S参数，您可以使用一个简单的过程：

1. 计算您的轨迹的阻抗，使用方程式(2)或方程式(3)
2. 计算传播常数（如下所示在方程式(5)中）
3. 在ABCD参数中使用这些值
4. 使用ABCD参数为您所需的参考阻抗或负载阻抗计算S参数矩阵

对于更一般的情况，例如当你将端口2连接到一个I/O缓冲器（如负载电容或一般负载终止电路）时，你可以使用传输线理论中的输入阻抗方程来确定S11:

上述定义适用于单端线，但我们也可以对负载和传输线（或奇模阻抗及其终止值）使用差分值，我们会得到形式相同的方程（有关此点的证明，请参见Wadell的教科书）。

当绘制S参数时，我们会得到如下图所示的图形。

包含这些计算的电子表格

所有这些都足够简单，可以在Microsoft Excel电子表格中实现；下面显示了我的电子表格的截图。A列的值是角频率。D列的值是每个频率下计算出的大致介电常数。最后，H列的值是A列中每个频率值的有损阻抗；这些值是复数，因此它们包括一个电阻阻抗和一个电抗。

• 在此处下载电子表格副本

现在，如果我们绘制H列中的值的实部和虚部与频率的图形，我们会得到如下图所示的图形。在Simbeor中绘制的阻抗与频率的图给出了类似的结果。

如果你愿意，你可以从材料数据表中输入各种频率值的Dk数据，并使用这些来计算D列中的大致Dk值。这里有两个非常重要的后果：

• 阻抗随频率变化，不等于无损阻抗
• 传输线阻抗中总是有一个轻微的反应组分

这揭示了一个在传输线阻抗计算中从未解决的重要因素，即由于粗糙度效应引起的色散。PCB材料的阻抗随频率的变化，这被称为色散。皮肤效应、粗糙度和介电常数的变化都会产生色散。铜粗糙度引起的色散主要取决于PCB中铜箔的形态。

过程概述

总结一下，不使用场解算器计算传输线阻抗的过程如下：

1. 收集材料输入和线条几何形状
2. 使用数据表中未校正的介电常数和您所需的几何形状计算无损阻抗
3. 使用校正后的Dk和无损阻抗，结合计算出的皮肤电阻和铜校正因子，在有损阻抗方程中使用
4. 计算传输线的传播常数
5. 使用第3点和第4点的结果来计算ABCD参数和S参数

现在您已经了解了传输线的所有信息。如果不包括损耗，您通常会发现，无损阻抗方程在GHz范围内可能会低估阻抗高达10%。

数学上精通的读者会注意到，我们定义了一个有损阻抗函数，该函数是以线宽为变量的，而且线宽是多个分析函数中的参数。这就创建了一个问题，因为您不能通过反转这些方程来得到线宽作为有损阻抗的函数。结果是，您必须解一个超越方程来根据您的无损阻抗计算线宽。这就是为什么，在我的IEEE EPEPS论文中，我将其形式化为一个以线宽为参数的优化问题。您可以在这里访问论文以了解更多信息。

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